La fonction dérivée sert à plusieurs choses :
1. Déterminer les variations d’une fonction:
- Croissance et décroissance: Le signe de la dérivée permet de déterminer si une fonction est croissante ou décroissante sur un intervalle donné.
- Points d’extremum: Les points où la dérivée est nulle correspondent aux points d’extremum (maximum et minimum) de la fonction.
2. Tracer le graphe d’une fonction:
- Tangentes: La dérivée en un point donne le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction en ce point.
- Points d’inflexion: Les points où la dérivée seconde est nulle correspondent aux points d’inflexion de la courbe.
3. Applications dans d’autres domaines:
- Optimisation: La dérivée peut être utilisée pour trouver les points optimaux d’une fonction, par exemple pour maximiser le profit ou minimiser le coût.
- Physique: La dérivée est utilisée dans de nombreuses branches de la physique, par exemple pour calculer la vitesse et l’accélération d’un objet en mouvement.
- Economie: La dérivée est utilisée en économie pour calculer la variation du taux de production ou de la consommation en fonction du prix.
En résumé, la fonction dérivée est un outil puissant qui permet d’étudier les variations d’une fonction et de la représenter graphiquement. Elle a de nombreuses applications dans divers domaines, notamment les mathématiques, la physique et l’économie.
Voici quelques exemples concrets d’utilisation de la fonction dérivée :
- Un ingénieur utilise la dérivée pour déterminer la pente optimale d’une rampe.
- Un économiste utilise la dérivée pour calculer l’élasticité-prix d’une demande.
- Un physicien utilise la dérivée pour calculer la vitesse d’une balle lancée en l’air.
La fonction dérivée est un outil essentiel pour tout étudiant en mathématiques et dans de nombreuses autres disciplines.